01罗尔定理

　　在学习罗尔定理之前，先引进一个极值的定义：设函数f（x）在 X的某邻域U（X,＄）内有定义，若对此邻域内的任何点x，都有f(x)≤f（X）或f（x）≥f（X）则称函数f（x）在X取得极大值或极小值f（X）,且称X是函数的极大值点或极小值点。

　　罗尔定理：若函数f满足如下条件：

　　（1）f在闭区间［a,b］上连续，

　　（2）f在开区间（a,b）内可导，

　　（3）f（a）＝f（b）

　　则在（a,b）上至少存在一点＄，使得f′（＄）＝0

　　例题：例1、设f（x）在［0，1］上连续，在(0，1)内可导，且f（1）＝0，证明至少存在一点＆∈（0，1），使f（&）＋&f′（&）＝0.

　　证：设辅助函数F(x)＝xf（x）,显然

　　F（x）在［0，1］上满足罗尔定理条件，

　　故至少存在一点&∈（0，1），使F′（＆）＝f（＆）＋&f（&）＝0

　　02拉格朗日中值定理

　　在学习拉格朗日中值定理之前，先承上启下引进个费马引理：设函数f(x)在点X的某个邻域(X－＆,X＋&)内有定义，并且在X点可导，且f（x）≤（或≥）f(X)，则f′(X)＝0.

　　拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：

　　（1）f在闭区间［a,b］上连续，

　　（2）f在开区间（a,b）内可导，

　　则在（a b）上至少存在一点&，使得f′（&）＝f（b）－f（a）╱b－a.

　　例题：证明arctanb＋ arctana≤b－a,其中a＜b.

　　证：设f（x）＝arctanx,则

　　f（b）－f（a）＝f′（&）（b－a）＝1／1+& （b－a）,a＜&＜b

　　从而得arctanb － arctana ＝ b－a

　　03柯西中值定理

　　现给出一个形式更一般的微分中值定理，柯西中值定理：设函数f和g满足，

　　（1）在［a，b］上都连续，

　　（2）在（a，b）上都可导，

　　（3）f＇（x）和g＇（x丿不同时为零，

　　（4）g（a）≠g（b）

　　则存在&∈（a，b），使得f＇（&）／g＇（&）＝f（b）－f（a）／g（b）一g（a）.